Экономикалық мамандықтарға арналған "Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика" пәні бойынша электрондық оқулық

Пән үш модулден тұрады: кездейсоқ оқиғалар, кездейсоқ шамалар және математикалық статистика.

Барлық модулдердің жалпы құрылымы бірдей:

1. Әрбір модуль блоктарға бөлінген;

2. Әрбір блок сабақтарға бөлінген;

3. Әрбір сабақ бойынша теориялық материалдар берілген;

4. Әрбір тақырып бойынша есептер шығару үлгілері көрсетілген;

5. Тезаурус келтірілген;

6. Әрбір сабақ, блок және бөлім бойынша білімді тексеру мүмкіндігі ұсынылады;

7. Қысқаша тарихи мағлұматтар берілген;

8. Бүкіл курс бойынша білімді қорытынды тексеру мүмкіндігі ұсынылады.

                                                                                            Авторлар

 

I МОДУЛЬ/span>

КЕЗДЕЙСОҚ ОҚИҒАЛАР

 

I-блок. Кездейсоқ оқиғалар түрлері. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

 

1-сабақ.   Кездейсоқ оқиғалардың түрлері 

 

 

Анықтама. Тәжірибе нәтижесінде пайда болған әрбір деректі оқиға деп атайды.

Тәжірибе нәтижесінде пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін оқиға кездейсоқ оқиға деп аталады.

Кездейсоқ оқиғалардың мысалдары:

-       теңге лақтыру тәжірибесінде елтаңбаның немесе сан жазылған жағының пайда болуы;

-       лотерея ойынында белгілі бір билетке ұтыс шығуы;

-       ойнау дәрежелері бірдей екі футбол командасының кездесуінің нәтижесі, т.с.с.

Кездейсоқ оқиғалардыА, В, С, ... әріптерімен белгілейді.

Тәжірибе нәтижесінде міндетті түрде пайда болатын оқиғаны ақиқат оқиға деп атайды. Мысалы: А- ойын кубын лақтырғанда бүтін санның пайда болуы; егер жәшікке 10 бірдей қызыл шарлар салынса, онда В- жәшіктен қызыл шар алу; С- суға лақтырылған тас батады, т.с.с. Мұнда А, В, Соқиғалары ақиқат оқиғалар болып табылады. Ақиқат оқиға, әдетте, И әрпі арқылы белгіленеді.

Тәжірибе нәтижесінде пайда болмайтын оқиғаны мүмкін емес оқиға деп атайды. Мысалы: А- ойын кубын лақтырғанда 7 ұпай пайда болуы; В- жәшікке ылғи көк шарлар салынғанда, ақ шар пайда болуы; С- туған күніңе ұшатын крокодил сыйлауы, т.с.с. Мұнда А, В, С  оқиғалары мүмкін емес оқиғалар болып табылады. Мүмкін емес оқиға, әдетте, Vәрпі арқылы белгіленеді.

Тәжірибе нәтижесіндеәртүрлі екі А және В оқиғалары бірге пайда бола алмаса, онда олар үйлесімсіз деп аталады, ал егер бірге пайда бола алса, онда олар үйлесімді оқиғалар деп аталады. Мысалы: ойын кубын лақтырғанда   оқиғалары сәйкес 1,2,...,6  сандарының пайда болуын білдірсе, онда бұл оқиғалар үйлесімсіз оқиғалар болып табылады. Ал, егер В- ойын кубын лақтырғанда жұп ұпайдың пайда болуын білдірсе, онда  және В,  және В,  және В үйлесімді оқиғалар болып табылады.

Тәжірибе нәтижесінде   оқиғаларының ең болмағанда біреуі пайда болса, онда бұл оқиғалар толық топ құрады деп айтады. Мысалы: ойын кубын лақтырғанда   оқиғаларының біреуі міндетті түрде пайда болады. Демек,  оқиғалары толық топ құрады.

Ɵзара үйлесімсіз, толық топ құратын екі оқиға қарама-қарсы оқиғалар деп аталады. Мысалы: теңге лақтыру тәжірибесінде – елтаңбаның пайда болуы, - санның пайда болуы болса, онда , толық топ құрады. Себебі тәжірибе нәтижесінде олардың біреуі міндетті түрде пайда болады. Сондай-ақ олар үйлесімсіз.  Демек,  және   қарама-қарсы оқиғалар. Әдетте, А-ға қарама-қарсы оқиға  арқылы белгіленеді.  

А және В оқиғаларының біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болуына  немесе пайда болмауына әсер етпесе, ондаолар өзара тәуелсіз оқиғалар деп аталады және А*В арқылы белгіленеді. А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп  осы екі оқиғалардың бірге пайда болуын айтады. Мысалы: ойынкубын лақтыру тәжірибесіндеА-екі санына еселі санның пайда болуы,ал В- үш санына еселі санның пайда болуы, сондай-ақ С- алты санның пайда болуы болсын. Сонда С=А*В екені айқын. Себебі С оқиғасы пайда болса, онда А-да пайда болады және В-дапайда болады.

А және В оқиғаларының қосындысы деп, не А, не В, немесе А және В оқиғаларының пайда болуын айтады. Алдыңғы мысалда А+В оқиғасы 2,3,4,6 сандарының біреуінің пайда болуын білдіреді.

Егер А және В үйлесімсіз болса, онда А+В оқиғасы не А-ның, не В-ның пайда болуын білдіреді.    

 

 

2-сабақ.   Ықтималдықтардың классикалық және статистикалық

анықтамалары

 

 

Әдетте, екіоқиғаныңпайда болуынсалыстырғанда, олардыңпайда болу мүмкіндіктеріәртүрлі болатыныбайқалады. Мысалы, урнада 17 қара 3 көк бірдейшарларболсын. Белгілеуенгізейік. А- урнадакөк шар алынуы, В- қара шар алынуы. Сонда В оқиғасының пайда болу мүмкіндігі А оқиғасының пайда болу мүмкіндігінен  жоғары екені байқалады. Себебіурнада қара шарлар саны көп. Осыдан оқиғаның пайда болу мүмкіндігін сипаттайтын сандық шама енгізу қажеттігі туындайды. Осы санды оқиғаның ықтималдығы деп аталады.

Егер бір тәжірибеде екі оқиғаның пайда болу мүмкіндіктері бірдей болса, ондай оқиғалар теңмүмкіндікті оқиғалар деп аталады. Егер урнада 10 қызыл және 10 көк бірдей шарлар болса, А- қызыл шар алу, В- көк шар алу оқиғалары теңмүмкіндікті оқиғалар болып табылады.

Айталық тәжірибе нәтижесінде өзара үйлесімсіз, теңмүмкіндікті және толық топ құратын  оқиғалары пайда болатын болсын. Осындай оқиғаларды элементарлық оқиғалардеп атайды. Тәжірибе нәтижесінде пайда бола алатын А оқиғасы осы тәжірибенің элементарлық оқиғаларының кейбіреуінің қосындысы ретінде өрнектелетін болсын.

Қосындылары А оқиғасына тең болатын элементарлық оқиғаларды А оқиғасына қолайлы элементарлық оқиғалар деп атайды.

Анықтама (ықтималдықтың классикалық анықтамасы). ТәжірибедегіА оқиғасынақолайлы элементарлық оқиғалар санының осы тәжірибедегі барлық элементарлық  оқиғалар санына қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды.

Айталық тәжірибедегіА оқиғасына  қолайлы элементарлық оқиғалар саны m, ал барлық элементарлық оқиғалар саны n болсын. Сонда:

Мысал 1. Ойын кубы лақтырылсын. Мұнда - элементарлық оқиғалары сәйкес1,2,...,6  сандарының пайда болуын білдіреді. А- жұп санның пайда болуы болмын. Сонда .демек, А-ға үш элементарлық оқиға қолайлы, яғни =3, ал n=6. Олай болса:

                                                   

Ықтималдықтың классикалық анықтамасынан:

1.     0≤ P(A)≤1,

2.     P(u)=1,

3.     P(v)=0

екенін байқауға болады.

Көпшілік жағдайда тәжірибенің нәтижесін элементарлық оқиғалардың қосындысы ретінде өрнектеу қиын болады.Сондықтан  оқиғаның ықтималдығының классикалық анықтамасымен қатар статистикалық анықтамасын да қолданады.

Айталық n сынақ жүргізілсін. Осы сынақтарда А оқиғасы  m рет пайда болған болсын.

Сынақтарда А оқиғасының пайда болған санының осы тәжірибедегі барлық сынақтар санына қатынасын оқиғаның салыстырмалы жиілігі деп атайды және W(A) арқылы белгілейді. Сонда:

Мысал 2. Кітап дүкеніне түскен кітаптардың жетеуі сапасыз болып шықты.Сапасыз кітаптардың пайда болуының салыстырмалы жиілігі:

                                                      

Сынақтар өскен сайын оқиғаның салыстырмалы жиілігі оқиғаның ықтималдығына жақындайды. Салыстырмалы жиіліктің осы қасиетін теңгелақтыру сынақтарының нәтижесінен байқауға болады:

 

Сынақтар саны Елтаңбаның пайда болу саны W(A) Сынақ жүргізуші 4040 2048 0,5080 Ж. Бюффон 12000 6019 0,5016 К. Пирсон 24000 12012 0,5005 К. Пирсон

 

Оқиғаның салыстырмалы жиілігі оқиғаның статистикалық анықтамасы деп аталады. Сонымен, ықтималдықтың классикалық анықтамасымен қатар статистикалық анықтамасы да қолданылады.  Бұл жерде ескеретін жай, ол оқиғаның салыстырмалы жиілігі сынақтар өткізіліп болғаннан кейін есептелетіндігі және сынақтар саны мейлінше үлкен болғаны жөн.

 

 

3-сабақ.   Комбинаторика формулалары

 

Мысал 1.Мерген нысанаға екi рет оқ атты. А_i-i-шi атқанда нысанаға тигiзуi (i= ). Ендi мына А - ең болмаса бiр рет тигiздi, В - бiр рет қана тигiздi, С - екi рет тигiздi, Д - екi рет тигiзе алмады оқиғаларын А₁, А₂ оқиғалары арқылы өрнекте.

Шешуi: А₁,A₂ - сәйкес бiрiншi және екiншi атқанда нысанаға тигiзуi, ал  және  - сәйкес бiрiншi, екiншi атқанында нысанаға тигiзе алмауы.

Сонда А₁+А₂ оқиғасы, екi оқиғаның қосындысының анықтамасы бойынша не А₁не А₂ немесе А₁×А₂оқиғаларының пайда болатынын, яғни ең болмағанда бiр оқиғаның пайда болатынын көрсетедi, олай болса А=А₁+А₂.

Сол сияқты В= - тек бiр рет нысанаға тигiзу; С= - нысанаға екi рет тигiзу; D= - екi рет тигiзбеуi.

Мысал 2. Урнаға 4 ақ, 9 қара және 7 қызыл бiрдей шарлар салынған. Урнадан кез-келген бiр шар алынады. Сонда ақ шар пайдаболуының ықтималдығы қандай?

Шешуi: А - ақ шар пайда болуы болсын. Бұл тәжiрибеде элементарлық w_i (i= ) - оқиға дегенiмiз - урнадан  кез-келген бiр шар алу.  Шарларбiрдей болғандықтанбұл w_iоқиғалары теңмүмкiндi жәнеөзара үйлесiмсiз. Элементарлық оқиғалардың жалпы саны осы урнадағы шарлар санына тең n=20,алА оқиғасына қолайлы элементарлық оқиғалары саны урнадағы ақшарлар санына тең. Сондықтан ықтималдықтың анықтамасы бойынша:

                    ;

Ықтималдық анықтамасын пайдаланып есептер шығарған кезде комбинаторика формулалары жиi қолданылады. Сондықтан, табиғаты әр түрлi болып келетiн, өзара айырмашылығы бар элементтерден құрастырылған комбинациялардың үш типiн қарастырайық.

Анықтама: Берiлген әртүрлi n  элементтен m элемент бойынша орналастырулар деп, әрқайсысы бiр-бiрiнен не құрамы бойынша, не орналасу ретi бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады.

Орналастырулардың жалпы саны мына формуламен анықталады

     (1.1.7)

Анықтама: Берiлген әртүрлi nэлементтен n элемент бойынша алмастырулар деп, әрқайсысы бiр-бiрiнен тек орналасу ретi бойынша ғана ажыратылатын комбинацияларды айтады.

Алмастырулардың жалпы саны:

     (1.1.8)

Сондай-ақ алмастыруларды орналастырулардың жеке түрi ретiнде қарастыруға болады, яғни

 

Анықтама: Берiлген әртүрлi n элементтен m элемент бойынша терулер деп, әрқайсысы бiр-бiрiнен тек құрамы бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтады.

Терулердiң жалпы саны мына формуламен есептелiнедi

     (1.1.9)

Бұл жердеn! (n факториaл) мына түрде есептелiнедi

    n!=1×2×3×...×(n-1)×n және0!=1 деп қабылданады.

Қосу ережесi: Егер әртүрлiА және В элементтердi сәйкесn және m рет жолмен таңдап ала алатын болсақ, онда осы екi элементтiң бiреуiн (А-ны болмаса В-ны)  m+nрет жолмен таңдап алуға болады.

Көбейту ережесi:Егер бiр группада m элемент, ал екiншi группада n элемент болса, онда әрбiр группадан бiр элементтен алып құрылған қосақтардың саны n×mкөбейтiндiсiне тең болады.

Расындабiрiншi группаның бiр элементi екiншi группаныңәрбiр элементiмен қосақталынады және керiсiнше, сондықтан қосақтардыңжалпы саны m×nкөбейтiндiсiмен анықталады.

Мысал 1. Кiтап сөресiнде кездейсоқ ретпен 5 томнан тұратын анықтама қойылған:

а) Кiтаптар бiрiншi томнан бесiншi томға дейiн дұрыс ретпен орналасуының ықтималдығын табу керек.

в) Еңболмағанда бiр томның реттi орнында тұрмаған жағдайдың ықтималдығын табу керек.

Шешуi: Сынақ ретiнде кiтап сөресiнде кiтаптардың кез-келген ретпен қойылуын қарастырайық. Сонда кiтаптардың бұлай орналасуларыныңжалпы саны

                  n=P₅=5!=120

1     А әрiпiарқылы кiтап сөресiнде кiтаптардың том нөмiрлерiнiңөсу ретiмен орналасуын бiлдiретiн оқиғаны белгiлейiк. Бұл оқиғаға қолайлы элементарлық оқиға бiреу-ақ. Сондықтан

P(A)= ;

2     В әрiпi арқылы, ең болмағанда бiр том реттi орнындаболмауын бiлдiретiн оқиғаны белгiлейiк. Мұндай  оқиғалар саны m=n-1, яғни m=119. Себебi кiтаптардың том нөмiрлерi бойынша дұрыс орналасу саны бiрге тең, ал қалғанорналасулар В оқиғасын анықтайды. Сонымен P(B)=119/120;

Осы жерде А және В оқиғаларының  қарама-қарсы екенiн ескерсек, онда  екенiн пайдаланып   табамыз, яғнибұрынғыжауапты алдық.

         Мысал 2. Қорапта бiрдей 5 бұйым бар. Оның үшеуi боялған. Қораптан кезкелген екi бұйым алынды.

1     Алынған екi бұйымның бiреуi боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.

2     Алынған бұйымның екеуi де боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.

         Шешуi: 1. Қорапта 5 бұйымның екеуiн барлығы     тәсiлмен алуға болады, ал алынған екi бұйымның бiреуi боялған болса, сол бiр боялған, бiр боялмаған бұйымдарды сәйкес      тәсiлмен алуға болады. Сонда екi бұйымның бiрi боялған болудың барлық қолайлы элементарлық оқиғалар саны

                           

Сөйтiп                          

2     Алдыңғы пункттегi шығару жолын пайдаланып:

                                     

Сонда                 

Ықтималдықтарды есептегенде қайталанбалы алмастырулар, орналастырулар және терулер де пайдаланылады.

        

II-блок. Ықтималдықтарды көбейту және қосу теоремалары

 

4-сабақ.    Ықтималдықтарды көбейту, қосу теоремалары және ең болмағанда бір оқиғаның пайда болуының ықтималдығы. қарама-қарсы оқиғалар

Ықтималдықтарды көбейту теоремасы:

 

         ЕгерА және В тәуелдi оқиғалар болса, онда

     (1.2.1)

Егер А және В тәуелсіз оқиғалар болса, онда

                            (1.2.2)

Ықтималдықтарды қосу теоремасы:

 

         ЕгерА және В үйлесiмсiз оқиғалар болса, онда

     (1.2.3)

Егер А және В үйлесiмдi оқиғалар болса, онда

     (1.2.4)

Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болуының ықтималдығы туралы теорема:

A₁, A₂, A₃, A₄,..., A_n оқиғалары жинақ бойынша тәуелсiз болсын. Осы оқиғалардың ең болмағанда бiреуiнiң (А оқиғасы) пайда болуыныңықтималдығы мына формуламен анықталады.

     (1.2.5)

Жеке жағдайда, егер A₁, A₂, A₃,..., A_n оқиғаларының пайда болуының ықтималдықтары бiрдей болса, яғни

(1.2.6)

Мысал 1.36 картаныңiшiнен кезкелген2 карта алынсын. Осыекiкартаныңбiр түстiболуының ықтималдығын табу керек.

Шешуi:Әуелi алынған екi картаның белгiлi бiр түске жататынының (айталық "қарға" болсын) ықтималдығын табалық. Белгiлеуенгiзелiк. А - бiрiншiкарта "қарға"болсын, В - екiншi картада "қарға" болсын. Бұл екi оқиға тәуелдi  оқиғалар, яғни  В-ныңпайда болу ықтималдығы А-ның  пайда болуына, не пайда болмауына байланысты өзгерiп отырады. Сондықтан

                             ,

Осыдан

                           

Ал ендi A₁, A₂, A₃, A₄ алынған екi карта сәйкес төрт түстiң бiрiне жататындығын көрсететiн өзара үйлесiмсiз оқиғалар болсын. Сонда алынған екi картаның бiрдей түстi(оқиға С) болуы A₁, A₂, A₃, A₄ оқиғаларының кез-келгенi орындалса пайда болады, яғни

                            C= A₁ + A₂ +A₃ +A₄;

Олай болса :

Мысал 2. Екi мерген атыс алаңында атыс жүргiзуде. Бiрiншi мергеннiң нысанаға тигiзу ықтималдығы- 0,7, екiншiсiнiкi- 0,8 тең. Егер екеуi де бiр-бiрден атыс жасаса,ең болмағанда бiреуiнiңнысанаға дәл тигiзетiндiгiнiң ықтималдығы қандай?

Шешуi: Белгiлеу енгiзелiк. А - бiрiншi мерген нысанаға дәл тигiздi. В - екiншi мерген нысанаға дәл тигiздi. Бұл екi оқиға үйлесiмдi, себебi  екi мерген де нысанаға дәл тигiзуi мүмкiн ғой. Сондықтанүйлесiмдi оқиғалардыңқосындыларыныңықтималдығытуралытеореманы (1.2.4) пайдаланып:

        

екенiн табамыз.

Осы мысалдыең болмағанда бiр оқиғаның пайда болуы (оқиға D) туралы теореманы пайдаланып та шығаруға  болатынын көрсетелiк. Шынында да D - оқиғасы ең болмаса бiреуiнiңнысанаға тигiзуi болсын. Сонда

Бұл жерде         

 

Мысал 3. Екiжәшiкке детальдарсалынған. Бiрiншiжәшiкте 10 деталь, оныңүшеуiстандартты, екiншiсiнде - 15 деталь, онда6 стандартты бар.Әрбiржәшiктен бiр-бiрденкез-келген деталь алынды. Алынған екiдетальдiңде стандарттыекенiнiңықтималдығын табу керек.

Шешуi: Белгiлеу енгiзелiк. А - бiрiншi жәшiктеналынған деталь стандартты, В - екiншi жәшiктеналынған деталь стандартты. Сондықтан . Алынғанекiдетальдестандарттыболуыүшiн А×В оқиғасыпайдаболуыкерек. Бұл екiоқиғада үйлесiмдi, себебiекеуiбiрдейпайда бола алады, сондай-ақ бұл оқиғалартәуелсiз, себебiолардыңпайдаболуыбiр-бiрiне байланыссыз. Сондықтан /1.2.2./ формуланыпайдалануғаболады:

                           

Мысал 4. Деталь дайындаупроцессi үшоперациядан тұрады. Бiрiншi операция кезiндесапасыз деталь дайындалудың ықтималдығы - 0,02, ал екiншi операция кезiнде - 0,03 және  үшiншi  операция кезiнде - 0,07. Сапасыз детальдердiңпайдаболуынтәуелсiзоқиғалардепқарастырып, осыүшоперациядан кейiнсапалы деталь дайындауыныңықтималдығын табу керек.

Шешуi: Белгiлеу енгiзелiк. А оқиғасыдепбiрiншiоперацияданкейiнсапасыздетальдiң пайдаболуы; В - екiншiоперацияданкейiнсапасыз деталь пайдаболуы; С - үшiншiоперацияданкейiнсапасыз деталь пайдаболуы. Есептiң шартыбойынша А,В,С тәуелсiзоқиғалар. Олайболса         оқиғалары да тәуелсiзоқиғалар. Сондықтан D= оқиғасы - үшоперацияданкейiнсапалы деталь дайындалуынанықтайды. Ендiтәуелсiзоқиғалардың көбейтiндiсiнiңықтималдығының формуласынпайдаланып

                 

 табамыз.

Мысал 5. Сүңгуiрқайықты iздептабудыңықтималдығы0,8, ал оны жойыпжiберудiңықтималдығы 0,6 - ғатең. Iздептабылған сүңгуiрқайықтыжойыпжiберудiңықтималдығы қандай?

Шешуi: А - оқиғасысүңгуiрқайықты iздептауыпалудыбiлдiредi. В - сүңгуiрқайықты жойыпжiберудiбiлдiредi. СондаР(А)=0,8; P(B)=0,6. Есептiңшартыбойыншаiздептабылған қайықтыжойыпжiберудiңықтималдығын табу керек, яғниР_A(B)ықтималдығын табу керек.

                            P(B)=P(A) ×P_A(B)

Сонда

Мысал 6. Үш баскетболшы корзинаға бiр-бiрден доп лақтырды. Бiрiншi баскетболшының корзинаға доптүсiруiнiң ықтималдығы 0,9, екiншiсiнiкi - 0,8, үшiншiсiнiкi - 0,7. Тек бiр баскетболшының корзинаға доп түсiруiнiң ықтималдығы қандай?

Шешуi:А - бiрiншi баскетболшының корзинаға доп түсiруi, В,С - екiншi, үшiншi баскетболшының корзинаға доп түсiруi. Бұл оқиғалар тәуелсiз. Ендi мына оқиғаларды қарастырайық: -тек А оқиғасының пайда болуы, - тек В оқиғасының  пайда болуы, - тек С   оқиғасының пайда болуы.

Бұл соңғы үш оқиғалар үйлесiмсiз сондықтан

оқиғасы А,В,С оқиғаларының тек бiреуiнiңпайдаболуынбiлдiредi. Сөйтiп

Мысал 7. Үш аңшыүшып бара жатқанүйректiсәйкес2/3, 3/4, 1/4 ықтималдықтарымен атыптүсiреалады. Ұшып бара жатқанүйректiүшеуi де бiрмезгiлдеатты. Үйректiатып түсiргендiктiңықтималдығы қандай?

Шешуi: Үйрекатып түсiруүшiнеңболмағандабiр аңшыныңоғыдәлтиюi керек. Сондықтан (1.2.5) формуланыпайдаланып

табамыз.

Мұндағы А – үйрекатыптүсiрiлдi, А₁- үйректiбiрiншiаңшыатыптүсiрдi; А₂- үйректiекiншiаңшыатыптүсiрдi; А₃- үйректiүшiншiаңшыатыптүсiрдi.

5-сабақ.   Толық ықтималдық. Бейес формуласы

Егер А оқиғасы, өзара үйлесiмсiз, толық группа құратын В₁, В₂,...,В_n оқиғаларының (гипотезаларының) бiреуiмен бiрге пайда болатын болса, онда А оқиғасының ықтималдығы мына формуламен анықталады:

(1.3.1)

Мұндағы - шартты ықтималдықтар. Бұл (1.3.1) формула толық ықтималдықтың формуласы деп аталады.

Сондай-ақ  жоғарыдағы шарттар сақталғанда Бейес формуласы орындалады:

     (1.3.2)     

Бұл (1.3.2) формула гипотезалардың ықтималдығын А оқиғасы пайда болғаннан кейiн есептеуге қолданылады.

Мысал 1. Қоймаға үш партия радиошамдар әкелiндi. Алынған кез-келген радиошамның осы партиялардың әрқайсысынан алынуыныңсәйкес ықтималдықтары0,25; 0,5; 0,25 тең. Ал әрбiр  партиядағы  радиошамдардың белгiлi мерзiм жұмыс iстеп шығуларының ықтималдықтары сәйкес 0,7; 0,6; 0,8.

1. Осы партиялардың бiрiнен алынған радиошамның белгiлi мерзiм жұмыс iстеп шығуының ықтималдығы қандай?

2. Мерзiмдi уақыт жұмыс iстеп шыққан радиошамның екiншi партиядан алынғандығының ықтималдығын табу керек.

Шешуi: 1. Бұл мысалды шығару үшiн толық ықтималдықтың формуласын және Бейесформуласын қолдану қажет. Ол үшiн әуелiқарастырып отырған оқиғаларды белгiлеп алайық:

А - радиошам белгiлi мерзiм жұмыс iстейдi;

В₁ - радиошам бiрiншi партиядан алынған;

В₂ - радиошам екiншi партиядан алынған;

В₃ - радиошам үшiншi партиядан алынған.

Сонда                  P(B₁)=0,25           

                     P(B₂)=0,5            

                   P(B₃)=0,25           

В₁, В₂, В₃ оқиғалар үйлесiмсiз және толық группа құрайды. Толық группақұрайтындығын тексерейiк.

         P(В₁ +В₂ +В₃)= P(В₁)+P(В₂)+P(В₃)=0,25+0,5+0,25=1

Сонымен толық ықтималдық формуласының шарттары орындалады, олай болса

                   P(A)= 0,25×0,7+0,5×0,6+0,25×0,8=0,675

2. Ендi мерзiмдi уақыт жұмыс iстеп шыққан радиошамның екiншi партиядан алынғандығының ықтималдығын Бейес формуласын пайдаланып табамыз.

                     P_A(B₂)=0,5×0,6/0,675=0,445

Сол сияқтыP_A(B₃), P_A(B₁)табалық

        P_A(B₁)=175/675,      P_A(B₃)=200/675

Бұл жерде P_A(B₁)+ P_A(B₂)+ P_A(B₃)=1 екенiн ескертемiз.

Байқап отырғанымыздай, А оқиғасы пайда болғаннан кейiн есептелiнген мына P_A(B_i) (i=1, 2, 3) шартты ықтималдықтар В₁, B₂, B₃ гипотезаларының ықтималдықтарының өзгергенiн көрсетедi.

Ескерту ретiнде айтарымыз, бұл (1.3.1) және (1.3.2) формулаларды қолданғанда алынған В₁, B₂, ..., B_n гипотезаларының үйлесiмсiздiгiн және толық группа құратындығын тексеру қажет.

Мысал 2.350 механизмдердiң160 - бiрiншiсортқа, 110 екiншiсортқа, 80 - үшiншiсортқа жатады. Бiрiншiсортқажататын механизмдердiңiшiнде сапасыз механизм болуының ықтималдығы 0,01, екiншi сортқажататындардың арасында- 0,02, үшiншiсортқа жататындардыңарасында - 0,04 тең. Кез-келген бiр механизм алынған. Алынғанмеханизмнiңсапалыекенiнiңықтималдығын табу керек.

Шешуi: Белгiлеуенгiзелiк:

А - алынған механизм сапалы;

В₁ - алынған механизм бiрiншi сортқажатады;

В₂ - алынған механизм екiншi сортқажатады;

В₃ - алынған механизм үшiншiсортқажатады;

Сонда

           P(B₁)=160/350           

           P(B₂)=110/350           

           P(B₃)=80/350             

В₁, B₂, B₃оқиғаларыүйлесiмсiз. Расында, айталық B₃ оқиғасыпайдаболдыделiк, яғниалынғанбiр механизм үшiншiсортқажатады, олайболса В₁, B₂оқиғасы B₃оқиғасыменбiргепайдабола алмайдыдегенсөз. Себебiалынғанбiр механизм бiруақыттаәрiүшiншi, әрiекiншi, әрiбiрiншiсортқа жатуымүмкiнемесқой.

Сондай-ақ В₁, B₂, B₃ оқиғалары толық группа құрайды

                  

Олайболса (1.3.1.) формуласынқолданып,

                    

Мысал 3. Бiрдейүшжәшiккебiрдейөлшемдiшарлар салынған. Бiрiншiжәшiкте 10 ақ, 5 қара, 3 қызыл, екiншiжәшiкте 9 ақ, 16 қара, 11 қызыл, үшiншiжәшiкте 7 ақ, 4 қара, 1 қызылшарлар бар. Кез-келгенжәшiктенкез-келген шар алынды. Алынғаншардыңқара шар болуыныңықтималдығықандай?

Шешуi: Мына оқиғалардықарастырайық:

 А - алынғаншардыңтүсi қара;

        В₁- шар бiрiншiжәшiктеналынды;

 В₂- шар екiншiжәшiктеналынды;

        В₃- шар үшiншiжәшiктеналынды.

Қарастырыпотырған В₁, B₂, B₃оқиғаларыүйлесiмсiз. Расында, егер, айталық, шар екiншiжәшiктеналынса, онда B₂ оқиғасы пайдаболады да, В₁, B₃оқиғалары пайдабола алмайды. Ойымыздыосылайжалғастырып В₁, B₂, B₃оқиғаларыныңүйлесiмсiз екенiнекөзжеткiзугеболады. Ал Аоқиғасы В₁, B₂, B₃оқиғаларынатәуелдi. Ендiүшжәшiктiң бiрдейекенiнескерiп:

                    P(B₁)=1/3,           

                  P(B₂)=1/3           

                    P(B₃)=1/3            

Осыдан          .

Мысал 4. Бiрiншi урнаға 1 ақ, 3 қара, ал екiншi урнаға 4 ақ, 6 қара бiрдей шарлар салынған. Бiрiншi урнадан бiр шар алынып екiншi урнаға салынды. Содан кейiн екiншi урнадан шар алынды. Екiншi урнадан алынған шардың түсiқара  болуының ықтималдығы қандай?

Шешуi: Мына оқиғаларды қарастырайық.В₁ - бiрiншiурнаданақ шар алынды. В₂- бiрiншiурнаданқара шар алынды,А - екiншiурнаданқара шар алынды.

Бұл жерде В₁, В₂ оқиғаларынқарастыру себебi, оләуелiбiрiншiурнаданқандай тұстi шар алуғабайланысты. Бұл екiоқиғағаүйлесiмсiзжәнетолық группа құрайды. Ендi

P(B₁)=3/4

                     P(B₂)=1/4           

Сондатолық ықтималдықтыңформуласы бойынша

Ендi осы есептiңшартыорындалсын. Сондаекiншi урнаданалынғанқарашар бастапқыдабiрiншiурнаданалынғандығыныңықтималдығын табайық:

III-блок. Тәуелсіз сынақтар>

 

6-сабақ Бернулли формуласы

 

Нәтижелерiндетәуелсiз оқиғалар пайда болатын сынақтардытәуелсiз сынақтар деп атайды. Екi ғананәтижесi бар тәуелсiз сынақтарды қарастыралық. Мұндайсынақтарға теңге  лақтыру, бұйымныңсапалылығынтексеру, детальдiң жарамдылығын тексеру т.б. сынақтар жатады.

Сонымен аталған екi нәтиженi  "А оқиғасы пайда болады" және "А оқиғасы пайда болмайды" деп атаймыз, сондай-ақ осы екi оқиғаныңбiр-бiрiне қарама-қарсы екенiн ескерiп, сәйкес ықтималдықтарын P(A)=p және  деп аламыз, яғни А оқиғасының ықтималдығы тұрақты. Осындай шарттар орындалғанда Бернулли схемасы орынды деп айтады.

   

Тәуелсiз n сынақтарда ықтималдығы тұрақты болатын А оқиғасының дәл к рет пайда болуының ықтималдығы Бернулли формуласымен есептеледi:

< (1.4.1)

Мұндағы p=P(A), q=1-p= . Бұл формуланы кейде биномдық деп те атайды.

Бернулли формуласын пайдаланып мына оқиғалардың ықтималдығын анықтауға болады:

1. Тәуелсiз n сынақтарда А оқиғасының к реттен кем пайда болатындығының   ықтималдығы:

     (1.4.3)

2. к реттен артық болуының ықтималдығы:

     (1.4.4)

3. Кем дегендекрет пайда болуының ықтималдығы:

     (1.4.5)

4. к  реттен артық емес пайда болуының ықтималдығы

     (1.4.6)

Бернулли схемасында сынақтар тәуелсiз болғандықтан, осы сынақтарда   ең  болмаса бiр оқиғаның пайда болуының ықтималдығы мына формуламен анықталады:

                            P=1-qⁿ     (1.4.7)

  Мысал 1. Шахмат ойнау шеберлiгi тең екi шахматшы ойын көрсетуде. Тең аяқтаған ойынды есептемегенде:

1     Төрт партияның үшеуiн ұту мен сегiз партияның бесеуiн ұтудың ықтималдықтарын табу керек. Қайсысыныңықтималдығы жоғары?

2     Төрт партиядан кем дегенде үш партия ұтумен сегiз партиядан кем дегенде 5 партия ұтудың ықтималдықтарын табу керек. Қайсысының ықтималдықтары жоғары?

Шешуi: Ойнау шеберлiгi тең болғандықтан олардың әрбiр партияда ұтуықтималдықтары0,5 тең.

1. Төрт партиядан үш ұтыстың ықтималдығы Бернулли     формуласы (1.4.1) бойынша

Сегiз партияда5 ұтыстың ықтималдығы

Осыдан , яғнитөрт партиядан үш ұтыстың ықтималдығы, сегiз партиядан 5 ұтыстың ықтималдығынан жоғары.

2. Төрт партиядан кем дегенде үш ұтыстың ықтималдығы

Сегiз партиядан кем дегенде 5 партия ұтудың ықтималдығы

Осыдан93/256 > 5/16, яғни сегiз партиядан кем дегенде бес ұтыстың  ықтималдығы, төрт партиядан кем дегенде 3 партия ұтыстыңықтималдығынан жоғары.

Ескерту: Егер Бернулли схемасындасынақтар саны үлкен болса, онда Бернулли формуласын пайдалану үлкен арифметикалық есептеулерге келтiредi. Сондықтан бұл жағдайда жуықтап есептеу формулаларын қолданады.

Егерде P(A)=p мәнi0,5-тiң маңайында болса, онда Муавр-Лапластың  локалдық және  интегралдық жуықтау формулалары қолданылады.

 

7-сабақ.   Муавр- Лапластың төңіректік (локальды) және интегральды теоремалары

Лаплас туралы қысқаша мағлұмат

Муавр-лапластың локалды теоремасы:

 

Тәуелсiз n сынақтарда ықтималдығы  тұрақтыА оқиғасының тура к рет пайда болуының ықтималдығы мына формула бойынша жуықтап есептеледi:

,          (1.4.8)

Муавр-Лапластың интегралды теоремасы:

 

 

Тәуелсiз n сынақтарда ықтималдығы тұрақты А оқиғасының к₁- ден кем емес к₂- ден артық емесрет пайдаболуыныңықтималдығы мына формула бойынша жуықтап есептеледi:

(1.4.9)

 

Мұндағыj(х), Ф(х_i)функцияларының мәндерiнiң кестесi бөлек келтiрiлген.

                              8-сабақ. Ең ықтималды сан. Тәуелсіз сынақтарда оқиғаның салыстырмалы жиілігінің оқиғаның ықтималдығынан ауытқуы

А оқиғасының ең ықтималды m₀ рет пайда болуы мына теңсiздiктен анықталады:

      (1.4.2)

Егер np-q- бүтiн сан болса, онда m₀-дiң екi бүтiн мәнi болады, ал np-q- бүтiн сан болмаса, онда m₀- дiң бiр ғана бүтiн мәнi болады.

Муавр-Лапластың (1.4.9) формуласын пайдаланып тәуелсiз сынақтарда А оқиғасының ықтималдығының салыстырмалы жиiлiктен ауытқуыныңабсолют шамасыныңықтималдығы мына формула арқылы табылады:

     (1.4.10)

Егерде P(A)=p мәнi 0,5 -тен едәуiр кiшi болса онда басқа жуықтауформуласы - Пуассон формуласы қолданылады:

,l=np     (1.4.11)

 

Жаттығу есептері

 

1.     Жәшiктегi 15 детальдiң 10-ны боялған. Жинаушы кез келген 3 деталь алды. Алынған 3 деталь де боялғандығының ықтималдығы қандай?

2.     Бiрiншi жәшiктенөмiрлерi1- ден 5 - ке дейiн, ал екiншiсiнде6-дан 10-ға дейiн шарлар бар. Әрбiржәшiктенбiр-бiрден шар алынды. Алынған екi шардыңнөмiрлерiнiң қосындысы11 болуының ықтималдығы қандай?

3.     Жәшiктегi 10 детальдiң 4-i боялған. Деталь жинаушы 3 деталь алды. Алынған үш детальдiң ең болмағанда бiреуi боялғандығының ықтималдығын табу керек.

4.     Ақшалай-заттай лотереяда әрбiр 10000 билетке 150 заттай және 50 ақшалай ұтыс шығады. Бiр билетi бар адамға не заттай, не ақшалай ұтыс шығуының  ықтималдығы қандай?

5.     Урнада 10 қызыл, 5 көк және 15 ақ шарлар бар. Түстi шардың алынуының ықтималдығы қандай?

6.     Екi жәшiкте 20 детальден бар. Оныңiшiнде бiрiншi жәшiкте17 стандартты, екiншi жәшiкте 15 стандартты деталь бар. Екiншi жәшiктен кез-келген бiр деталь алынып бiрiншi жәшiкке салынған. Содан кейiн бiрiншi жәшiктен кез-келген бiр деталь алынды. Бiрiншi жәшiктен алынған детальдiң стандартты болуының ықтималдығын  табу керек.

7.     Гаражда5 машина бар. Кез-келген бiр сәтте машиналардың жұмыс iстеу ықтималдығы 0,8-ге тең. Қалаған бiр сәтте үш машинаның жұмыс iстеуiнiңықтималдығы қандай?

8.     Цехтағы 6 мотордың әрқайсысының белгiлi бiр сәтте iстеп тұрғандығының ықтималдығы 0,8-ге тең.

9.     Белгiлi бiр сәтте 4 мотордың iстеп тұруының ықтималдығын табу керек.

 

 

.